普林斯顿微积分读本

第 1 章 函数、图像和直线 1 1.1 函数 1 1.1.1 区间表示法 3 1.1.2 求定义域 3 1.1.3 利用图像求值域 4 1.1.4 垂线检验 5 1.2 反函数 6 1.2.1 水平线检验 7 1.2.2 求逆 8 1.2.3 限制定义域 8 1.2.4 反函数的反函数 9 1.3 函数的复合 10 1.4 奇函数和偶函数 12 1.5 线性函数的图像 14 1.6 常见函数及其图像 16 第 2 章 三角学回顾 21 2.1 基本知识 21 2.2 三角函数定义域的扩展 23 2.2.1 ASTC 方法 25 2.2.2 [0; 2] 以外的三角 函数 27 2.3 三角函数的图像 29 2.4 三角恒等式 32 第 3 章 极限导论 34 3.1 极限：基本思想 34 3.2 左极限与右极限 36 3.3 何时不存在极限 37 3.4 在 1 和 .1 处的极限 38 3.5 关于渐近线的两个常见 错误认知 41 3.6 三明治定理 43 3.7 极限的基本类型小结 45 第 4 章 如何求解涉及多项式的极限 问题 47 4.1 包含当 x ! a 时的有理函数的极限 47 4.2 当 x ! a 时的涉及平方根的极限 50 4.3 当 x ! 1 时涉及的有理函数的极限 51 4.4 当 x ! 1 时的多项式型函数的极限 56 4.5 当 x ! .1 时的有理函数的极限 59 4.6 包含绝对值的极限 61 第 5 章 连续性和可导性 63 5.1 连续性 63 5.1.1 在一点处连续 63 5.1.2 在一个区间上连续 64 5.1.3 连续函数的例子 65 5.1.4 介值定理 67 5.1.5 一个更难的 IVT 例子 69 5.1.6 连续函数的最大值和最小值 70 5.2 可导性 71 5.2.1 平均速率 71 5.2.2 位移和速度 72 5.2.3 瞬时速度 73 5.2.4 速度的图像解释 74 5.2.5 切线 75 5.2.6 导函数 76 5.2.7 作为极限比的导数.78 5.2.8 线性函数的导数 80 5.2.9 二阶导数和更高阶导数 80 5.2.10 导数何时不存在 81 5.2.11 可导性和连续性 82 第 6 章 如何求解微分问题 84 6.1 使用定义求导 84 6.2 求导 (好方法) 87 6.2.1 函数的常数倍 88 6.2.2 函数和与函数差 88 6.2.3 通过乘积法则求积 函数的导数 88 6.2.4 通过商法则求商 函数的导数 90 6.2.5 通过链式求导法则求 复合函数的导数 91 6.2.6 一个令人讨厌的例子 94 6.2.7 乘积法则和链式求导法则的理由 96 6.3 求切线方程 98 6.4 速度和加速度 99 6.5 导数伪装的极限 102 6.6 分段函数的导数 104 6.7 直接画出导函数的图像 107 第 7 章 三角函数的极限和导数 111 7.1 涉及三角函数的极限 111 7.1.1 小数情况 111 7.1.2 问题的求解 || 小数的情况. 113 7.1.3 大数的情况 117 7.1.4 \其他的" 情况 120 7.1.5 一个重要极限的证明 121 7.2 涉及三角函数的导数 124 7.2.1 求三角函数导数 的例子 127 7.2.2 简谐运动 128 7.2.3 一个好奇的函数 129 第 8 章 隐函数求导和相关变化率 132 8.1 隐函数求导 132 8.1.1 技巧和例子 133 8.1.2 隐函数求二阶导 137 8.2 相关变化率 138 8.2.1 一个简单的例子 140 8.2.2 一个稍难的例子 141 8.2.3 一个更难的例子 142 8.2.4 一个非常难的例子 144 第 9 章 指数函数和对数函数 148 9.1 基础知识 148 9.1.1 指数函数的回顾 148 9.1.2 对数函数的回顾 149 9.1.3 对数函数、指数函数及 反函数. .150 9.1.4 对数法则 151 9.2 e 的定义 153 9.2.1 一个有关复利的例子 153 9.2.2 我们的问题的答案 154 9.2.3 关于 e 和对数函数的更多内容 156 9.3 对数函数和指数函数求导 158 9.4 如何求解涉及指数函数和对数 函数的极限 161 9.4.1 涉及 e 的定义的极限 161 9.4.2 指数函数在 0 附近的行为 162 9.4.3 对数函数在 1 附近的行为 164 9.4.4 指数函数在 1 或 .1 附近的行为 165 9.4.5 对数函数在 1 附近的行为 167 9.4.6 对数函数在 0 附近的行为 169 9.5 对数函数求导 170 9.6 指数的增长和衰退.174 9.6.1 指数增长 175 9.6.2 指数衰退 176 9.7 双曲函数. .178 第 10 章 反函数和反三角函数 182 10.1 导数和反函数 182 10.1.1 使用导数证明反函数 存在 182 10.1.2 导数和反函数：可能 出现的问题 183 10.1.3 求反函数的导数 184 10.1.4 一个重要的例子 186 10.2 反三角函数 188 10.2.1 反正弦函数 188 10.2.2 反余弦函数 191 10.2.3 反正切函数 193 10.2.4 反正割函数 195 10.2.5 反余割函数及反余 切函数 196 10.2.6 计算反三角函数 197 10.3 反双曲函数 199 第 11 章 导数和图像 203 11.1 函数的极值问题 203 11.1.1 全局极值和局部极值 203 11.1.2 极值定理 204 11.1.3 怎样求全局最大值和全局最小值 205 11.2 罗尔定理 208 11.3 中值定理 210 11.4 二次导数及图像 213 11.5 对于导数为零点的分类 215 11.5.1 一次导数的应用 216 11.5.2 二阶导数的应用 217 第 12 章 如何绘制函数图像 220 12.1 怎样建立符号表格 220 12.1.1 制作一次导数的符号表格 222 12.1.2 制作二次导数的表格 223 12.2 绘制函数图像的完全方法 225 12.3 例题 226 12.3.1 一个不使用导数的例子 226 12.3.2 使用完全方法绘制函数图像: 例 1 229 12.3.3 例 2 230 12.3.4 例 3 233 12.3.5 例 4 236 第 13 章 最优化和线性化 240 13.1 最优化问题 240 13.1.1 一个简单的最优化例子 240 13.1.2 最优化问题：通常的 方法 241 13.1.3 一个最优化的例子 242 13.1.4 另一个最优化的例子 244 13.1.5 在最优化问题中使用隐函数的求导方法 247 13.1.6 一个较难的最优化例题 247 13.2 线性化 250 13.2.1 线性化的归纳 251 13.2.2 微分 253 13.2.3 线性化的总结和 例子 255 13.2.4 在我们估算过程中的 误差 256 13.3 牛顿方法 258 第 14 章 洛必达法则及极限问题综述 264 14.1 洛必达法则 264 14.1.1 类型 A：0/0 264 14.1.2 类型 A : §1= §1 267 14.1.3 类型 B1(1.1) 268 14.1.4 类型 B2(0 ￡§1) 270 14.1.5 类型 C(1§1; 00 或 10) 271 14.1.6 洛必达法则类型的总结 273 14.2 关于极限的总结 274 第 15 章 积分 277 15.1 求和符号 277 15.1.1 一个有用的求和 280 15.1.2 伸缩求和法 281 15.2 位移和面积 284 15.2.1 三个简单的例子 284 15.2.2 一段更常规的旅行 286 15.2.3 有正负的面积 288 15.2.4 连续的速度 289 15.2.5 两个特别的估算 292 第 16 章 定积分 295 16.1 基本思想 295 16.2 定积分的定义 299 16.3 定积分的特性 303 16.4 求面积 307 16.4.1 求非代数和面积 308 16.4.2 求解两条曲线之间的面积 310 16.4.3 求曲线与 y 轴所围成的面积 312 16.5 估算积分 315 16.6 积分的平均值和中值定理 318 16.7 不可积的函数 321 第 17 章 微积分基本定理 323 17.1 以其他函数为积分的函数 323 17.2 微积分的第一基本定理 326 17.3 微积分的第二基本定理 330 17.4 不定积分 331 17.5 怎样解决问题：微积分第一基本定理 333 17.5.1 变形 1：变量是积分下限 334 17.5.2 变形 2：积分上限是一个函数 334 17.5.3 变形 3：积分上下限都为函数 336 17.5.4 变形 4：极限伪装成导数 337 17.6 怎样解决问题：微积分第二基本定理 337 17.6.1 计算不定积分 338 17.6.2 计算定积分 340 17.6.3 非代数和面积和绝对值 343 17.7 技术上的观点 346 17.8 微积分第一基本定理的证明 347 第 18 章 积分的方法：第一部分 349 18.1 替代法 349 18.1.1 换元法和定积分 352 18.1.2 怎样决定替代公式 355 18.1.3 换元法的理论解释 357 18.2 分部积分法 358 18.3 部分分式 363 18.3.1 部分分式的代数 运算 363 18.3.2 对每一部分积分 367 18.3.3 方法和一个完整的例子 369 第 19 章 积分的方法：第二部分 374 19.1 应用三角函数公式的积分 374 19.2 关于三角函数的幂的积分 377 19.2.1 sin 或 cos 的幂 377 19.2.2 tan 的幂 379 19.2.3 sec 的幂 380 19.2.4 cot 的幂 382 19.2.5 csc 的幂 383 19.2.6 递归公式.383 19.3 关于三角换元法的积分 385 19.3.1 类型 1：pa2 . x2 385 19.3.2 类型 2：px2 + a2 387 19.3.3 类型 3：px2 . a2 388 19.3.4 配方和三角换元法 389 19.3.5 关于三角换元法的总结 390 19.3.6 平方根的方法和三角换元法 390 19.4 积分技巧综述 392 第 20 章 反常积分：基本概念 394 20.1 收敛和发散 394 20.1.1 关于反常积分的一些例子 396 20.1.2 其他的破裂点 398 20.2 关于无穷区间的积分 399 20.3 比较判别法 (理论) 401 20.4 极限比较判别法 (理论) 403 20.4.1 函数互为渐近线 403 20.4.2 关于判别法的陈述 405 20.5 P 判别法 (理论) 406 20.6 绝对收敛判别法 408 第 21 章 反常积分：如何解题 411 21.1 如何开始 411 21.1.1 拆分积分 411 21.1.2 如何处理负函数值 412 21.2 积分判别法总结 414 21.3 1 和 .1 附近的常见函数 415 21.3.1 1 和 .1 附近的多项式和多项式型函数 416 21.3.2 1 和 .1 附近的三角函数 418 21.3.3 1 和 .1 附近的 指数 420 21.3.4 1 附近的对数 423 21.4 常见函数在 0 附近的情形 427 21.4.1 0 附近的多项式和多项式型函数 427 21.4.2 0 附近的三角函数 428 21.4.3 0 附近的指数函数 429 21.4.4 0 附近的对数函数 431 21.4.5 0 附近的更一般 函数 432 21.5 如何应对不在 0 或 1 处的瑕点 433 第 22 章 数列和级数：基本概念 435 22.1 数列的收敛和发散 435 22.1.1 数列和函数的联系 436 22.1.2 两个重要数列 438 22.2 级数的收敛与发散 439 22.3 第 n 项判别法 (理论) 443 22.4 无穷级数和反常积分的性质 444 22.4.1 比较判别法 (理论) 444 22.4.2 极限比较判别法 (理论) 445 22.4.3 p 判别法 (理论) 446 22.4.4 绝对收敛判别法 447 22.5 级数的新判别法 448 22.5.1 比式判别法 (理论) 448 22.5.2 根式判别法 (理论) 450 22.5.3 积分判别法 (理论) 451 22.5.4 交错级数判别法 (理论) 454 第 23 章 如何求解级数问题 457 23.1 如何求几何级数的值 457 23.2 如何应用第 n 项判别法 459 23.3 如何应用比式判别法 460 23.4 如何应用根式判别法 463 23.5 如何应用积分判别法 464 23.6 如何应用比较判别法、极限比较判别法和 p 判别法 466 23.7 如何应对含负项的级数 470 第 24 章 泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论 475 24.1 近似值和泰勒多项式 475 24.1.1 重访线性化 476 24.1.2 二次近似 476 24.1.3 高阶近似 477 24.1.4 泰勒定理 478 24.2 幂级数和泰勒级数 481 24.2.1 一般幂级数 482 24.2.2 泰勒级数和麦克劳林 级数 484 24.2.3 泰勒级数的收敛性 485 24.3 一个重要极限 488 第 25 章 如何求解估算问题 490 25.1 泰勒多项式与泰勒级数总结 490 25.2 求泰勒多项式与泰勒级数 491 25.3 用误差项估算问题 494 25.3.1 第一个例子 495 25.3.2 第二个例子 497 25.3.3 第三个例子 498 25.3.4 第四个例子 499 25.3.5 第五个例子 501 25.3.6 误差项估算的一般方法 502 25.4 误差估算的另一种方法 502 第 26 章 泰勒级数和幂级数：如何解题 505 26.1 幂级数的收敛性 505 26.1.1 收敛半径 505 26.1.2 如何求收敛半径和收敛区域 507 26.2 由旧泰勒级数求新泰勒级数 511 26.2.1 代换和泰勒级数 512 26.2.2 泰勒级数求导 514 26.2.3 泰勒级数求积分 515 26.2.4 泰勒级数相加和相减 517 26.2.5 泰勒级数相乘 518 26.2.6 泰勒级数相除 519 26.3 利用幂级数和泰勒级数求导 520 26.4 利用麦克劳林级数求极限 522 第 27 章 参数方程和极坐标 526 27.1 参数方程 526 27.2 极坐标 531 27.2.1 极坐标与笛卡儿坐标互换 532 27.2.2 极坐标系中画曲线 534 27.2.3 求极坐标曲线的切线 537 27.2.4 求极坐标曲线围成的面积 538 第 28 章 复数 541 28.1 基础 541 28.2 复平面 544 28.3 复数的高次幂 547 28.4 解 zn = w 548 28.5 解 ez = w 553 28.6 一些三角级数 555 28.7 欧拉等式和幂级数 557 第 29 章 体积、弧长和表面积 559 29.1 旋转体的体积 559 29.1.1 圆盘法 560 29.1.2 壳法 561 29.1.3 总结和变式 563 29.1.4 变式 1：区域在曲线和y 轴之间 563 29.1.5 变式 2：两曲线间的区域 565 29.1.6 变式 3：绕平行于坐标轴的轴旋转 567 29.2 一般固体体积 569 29.3 弧长 573 29.4 旋转体的表面积 577 第 30 章 微分方程 581 30.1 微分方程导论 581 30.2 可分离变量的一阶微分方程 582 30.3 一阶线性方程 584 30.4 常系数微分方程 588 30.4.1 解一阶齐次方程 589 30.4.2 解二阶齐次方程 589 30.4.3 为什么特征二次方程适用 590 30.4.4 非齐次方程和特解 591 30.4.5 求特解 592 30.4.6 求特解的例子 593 30.4.7 解决 yP 和 yH 间的冲突 596 30.4.8 IVP. 596 30.5 微分方程建模 598 附录 A 极限及其证明 601 A.1 极限的正式定义 601 A.1.1 小游戏 601 A.1.2 真正的定义 603 A.1.3 应用定义的例子 604 A.2 由原极限产生新极限 605 A.2.1 极限的和与差及证明 605 A.2.2 极限的乘积及证明 606 A.2.3 极限的商及证明 607 A.2.4 三明治定理及证明 609 A.3 极限的其他情形 609 A.3.1 无穷极限 610 A.3.2 左极限与右极限 611 A.3.3 在 1 及 .1 处的极限 611 A.3.4 两个涉及三角函数的例子 613 A.4 连续与极限 615 A.4.1 连续函数的复合 615 A.4.2 介值定理的证明 617 A.4.3 最大 { 最小定理的证明 618 A.5 重返指数函数和对数函数 619 A.6 微分与极限 621 A.6.1 函数的常数倍 622 A.6.2 函数的和与差 622 A.6.3 乘积法则的证明 622 A.6.4 商法则的证明 623 A.6.5 链式求导法则的证明 624 A.6.6 极值定理的证明 624 A.6.7 罗尔定理的证明 625 A.6.8 中值定理的证明 625 A.6.9 线性化的误差 626 A.6.10 分段函数的导数 627 A.6.11 洛必达法则的证明 628 A.7 泰勒近似定理的证明 630 附录 B 估算积分 633 B.1 使用条纹估算积分 633 B.2 梯形法则 636 B.3 辛普森法则 638 B.4 近似的误差 640 B.4.1 估算误差的例子 641 B.4.2 误差项不等式的证明 642 符号列表 644 索引 647

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