高等微积分（第3版修订版）

第1 章 基本概念 　　1 1 数的概念 　　1 2 数的连续性 　　2 3 数的集合 上确界 下确界　　 3 4 数列的极限 　　5 5 区间套法 　　9 6 收敛条件与柯西判别法　　 11 7 聚点 　　13 8 函数 　　16 9 关于连续变量的极限　　 20 10 连续函数 　　23 11 连续函数的性质　　 26 12 区域 边界 　　28 习题 　　32 第2 章 微分　　 34 13 微分与导函数　　 34 14 微分法则 　　36 15 复合函数的微分　　 38 16 反函数的微分法则 　　41 17 指数函数和对数函数 　　45 18 导函数的性质 　　47 19 高阶微分法则 　　51 20 凸函数 　　52 21 偏微分 　　53 22 可微性与全微分　　 55 23 微分的顺序 　　56 24 高阶全微分 　　59 25 泰勒公式 　　61 26 极大极小 　　67 27 切线和曲率 　　74 习题 　　85 第3 章 积分　　 88 28 古代求积方法　　 88 29 微分发明之后的求积方法　　 90 30 定积分 　　93 31 定积分的性质　　 99 32 积分函数, 原函数 　　102 33 积分定义扩展(广义积分)　　 106 34 积分变量的变换 　　114 35 乘积的积分(分部积分或分式积分)　　 116 36 勒让德球函数 　　123 37 不定积分计算 　　126 38 定积分的近似计算 　　130 39 有界变差函数 　　133 40 曲线的长度 　　136 41 线积分 　　141 习题 　　144 第4 章 无穷级数与一致收敛 　　148 42 无穷级数　　 148 43 绝对收敛和条件收敛 　　149 44 绝对收敛的判别法 　　153 45 条件收敛的判别法 　　157 46 一致收敛 　　159 47 无穷级数的微分和积分　　 162 48 关于连续变量的一致收敛, 积分符号下的微分和积分　　 167 49 二重数列 　　177 50 二重级数 　　179 51 无穷积 　　184 52 幂级数 　　188 53 指数函数和三角函数 　　196 54 指数函数和三角函数的关系,对数函数和反三角函数 　　201 习题 　　207 第5 章 解析函数及初等函数 　　209 55 解析函数 　　209 56 积分 　　212 57 柯西积分定理 　　217 58 柯西积分公式, 解析函数的泰勒展开　　 222 59 解析函数的孤立奇点 　　226 60 z = 1 处的解析函数 　　230 61 整函数　　 231 62 定积分计算(实变量) 　　232 63 解析延拓　　 238 64 指数函数和三角函数　　 241 65 对数ln z 和一般幂z? 　　 249 66 有理函数的积分理论 　　254 67 二次平方根的不定积分　　 258 68 ? 函数　　 260 69 斯特林公式 　　270 习题　　 276 第6 章 傅里叶展开　　 282 70 傅里叶级数 　　282 71 正交函数系　　 283 72 任意函数系的正交化 　　284 73 正交函数列表示的傅里叶展开　　 286 74 傅里叶级数累加平均求和法(费耶定理) 　　289 75 光滑周期函数的傅里叶展开 　　291 76 非连续函数的情况 　　292 77 傅里叶级数的例子 　　295 78 魏尔斯特拉斯定理　　 298 79 积分第二中值定理 　　301 80 关于傅里叶级数的狄利克雷{若尔当条件 　　303 81 傅里叶积分公式 　　306 习题 　　308 第7 章 微分续篇(隐函数)　　 309 82 隐函数　　 309 83 反函数　　 314 84 映射 　　317 85 对解析函数的应用　　 321 86 曲线方程 　　326 87 曲面方程 　　331 88 包络线 　　334 89 隐函数的极值 　　336 习题 　　339 第8 章 多变量积分 　　342 90 二元以上的定积分 　　342 91 面积的定义和体积的定义　　343 92 一般区域上的积分　　 348 93 化简成一元积分 　　351 94 积分意义的扩展(广义积分) 　　357 95 多变量定积分表示的函数 　　364 96 变量变换 　　366 97 曲面面积 　　377 98 曲线坐标(体积、曲面积和弧长等的变形)　　 384 99 正交坐标　　 391 100 面积分 　　395 101 向量记号 　　397 102 高斯定理　　 399 103 斯托克斯定理 　　406 104 全微分条件　　 409 习题 　　413 第9 章 勒贝格积分 　　416 105 集合运算　　 416 106 加法集合类(? 系) 　　419 107 M 函数 　　420 108 集合的测度 　　424 109 积分 　　427 110 积分的性质 　　430 111 可加集合函数 　　438 112 绝对连续性和奇异性　　 441 113 欧式空间和区间的体积　　 444 114 勒贝格测度 　　446 115 零集合 　　451 116 开集合和闭集合 　　453 117 博雷尔集合 　　456 118 积分表示的集合测度 　　458 119 累次积分　　 463 120 与黎曼积分的比较 　　464 121 斯蒂尔切斯积分　　 466 122 微分定义　　 468 123 Vitali 覆盖定理　　 470 124 可加集合函数的微分 　　472 125 不定积分的微分　　 476 126 有界变差和绝对连续的点函数 　　477 附录I 无理数论 　　480 1 有理数分割 　　480 2 实数的大小 　　481 3 实数的连续性　　 482 4 加法　　 483 5 绝对值　　 485 6 极限 　　485 7 乘法　　 486 8 幂和幂根　　 488 9 实数集合的一个性质　　 488 10 复数　　 489 附录II 若干特殊曲线　　 491

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